Con las ciberderrotas y los cibernauticos van quedando atrás los  métodos utilizados en la navegación marítima del siglo XX e inclusive van desapareciendo el folio y el lápiz en los cálculos de la navegación, en la actualidad solo la utilizan los navegantes con  afición a las matemáticas   o  al empleo de las   tablas útiles al navegante que traen un compendio de tablas entre las cuales se hallan las de estima analítica.

Pero nunca debemos llegar al extremo que desdice de la cultura  de un oficial de Marina, a modo de ejemplo empleo el siguiente comentario.

 “Sinceramente creo -a no ser que te interese especialmente la Trigonometría- que nosotros los marineros no necesitamos comprender los mecanismos de tan complicada rama de las matemáticas. Ya tenemos suficiente con aprender a aplicar las fórmulas de la misma”.

 Por favor saquen ustedes sus propias conclusiones. A mi juicio creo que si debemos comprender los mecanismo de la trigonometría plana y esférica, de la geometría plana y esférica, de la física, etc, etc......

En artículos anteriores se ha tratado la determinación de la posición del buque por el método de la estima grafica o sea determinando la posición del buque en la carta náutica a partir de la ultima posición de estima, teniendo en cuenta el espacio recorrido por la corredera o calculado por fórmulas, computadores, etc. En este artículo determinaremos la posición del buque por las fórmulas de la estima analítica basadas en formulas trigonométricas . La estima analítica  se utiliza por lo general en las siguientes circunstancias.

-         En la travesía transoceánica.

-         Cuando es muy trabajosa llevar la estima grafica.

-         Cuando se quiere lograr una gran exactitud, eliminando los errores de la estima grafica.

 

Trataremos en el artículo de manera elemental los siguientes aspectos.

 

1.- Deducción de las fórmulas de la estima analítica.

2.- Carácter de variación de las coordenadas cuando se navega por diferentes rumbos.

3.- Tipos de estima analítica.

4.- Consideración del abatimiento, la deriva, el círculo de evolución en la estima analítica.

5.- Calculo del rumbo y el espacio recorrido por las formulas de la estima analítica.

 

1.- DEDUCCIÓN DE LAS FÓRMULAS DE LA ESTIMA ANALÍTICA

La esencia del método de la estima analítica consiste en calcular   Δφ  y  Δλ que establece un buque al navegar con un rumbo verdadero Rv  desde un punto con coordenadas  φ1, λ1 , el espacio  S,  Y posteriormente aplicar las fórmulas  siguientes

  φ2 = φ1 + Δφ         λ2=λ1 + Δλ

 

Las fórmulas que establecen la dependencia, que tienen Δφ, Δλ, Rv y  S, se llaman fórmulas de la estima analítica. Su deducción es como sigue.

 Fig. 1 Arriba

                                                                                                      Fig.  2 Abajo 

Supongamos que el buque navego desde el punto A al B por la loxodrómica, ( Rv- Constante) y el espacio recorrido es  S.

Con fines didácticos ( Fig. 1 )  hemos dividido  a S  entre A Y B  en un numero grande de segmentos elementales  “s”, por los puntos obtenidos trazamos segmentos de  meridianos y  de paralelos  obteniéndose  un numero “n” de  triángulos rectángulos pequeños  iguales entre si , la hipotenusa de cada unos de ellos   es el segmento Δs y los catetos son los segmentos de paralelos y meridianos. Estos triángulos rectángulos elementales por su pequeñez  se pueden tomar como planos  y aplicarles la trigonometría plana (Fig. 2).

 

S- Espacio a navegar. Segmento de loxodrómica  en la carta de proyección mercator.

φ1, λ1 - Coordenadas del punto de partida,      se necesita determinar φ2, λ2.

Los lados AB Y AC  del  ΔABC  se miden en millas náuticas.

 AB -  Línea  Loxodrómica      AC  - Meridiano   CB- Paralelo

 La relación entre el apartamiento  W  y la diferencia de longitud Δλ teniendo en cuenta la longitud del arco de ecuador y  la del paralelo de latitud mediaφm, se expresa por las fórmulas.

Δφ = S. Cos Rv     W= S. Sec Rv            

 Δλ= W. ΔPM       Δλ = W.  Sec φm.    Δλ = ΔPM. tag Rv Δφ

 De esta forma hemos obtenido las fórmulas principales de la estima analítica.

 2.-CARÁCTER DE VARIACIÓN DE LAS COORDENADAS CUANDO SE NAVEGA CON DIFERENTES RUMBOS.

a.- Δφ = S. Cos Rv     . Esta fórmula es exacta  y se ajusta  a la navegación a cualquier distancia, latitud y rumbo.

Cuando  Rv= 0º 0 180º -------------- Δφ = S

 De donde   el buque  navega por el meridiano, por lo que la  λ  no varia y Δλ  No varia y Δφ  Es máxima.

  Cuando Rv=90º---------------------- Δφ = 0 de donde el buque navega por el paralelo

 Cuando  la navegación sea en el norte  la Δφ  será norte y positiva

Cuando sea en el hemisferio sur  la Δφ   será sur y negativa

 b.- W= S. Sec Rv  , esta fórmula es exacta  y se ajusta a cualquier valor de S y Rv.

Cuando RV=0º  O 180º     W= 0  De donde se deduce que el buque  navega  por los meridianos.

Cuando R=90º  o 270º   W= S    de donde se deduce  que el buque navega por el paralelo en este caso W es máximo

-         Cuando la navegación sea en la mitad este , el W  es este y tiene signo  (+)

-         Cuando la navegación  sea en la mitad oeste , el W es oeste y tiene el signo menos  (-)

 c) Δλ = W.  Sec φm     esta fórmula es aproximada ya que se supuso que W es numéricamente igual a la longitud del arco del paralelo medio por lo cual solo se puede utilizar   cuando se navega en pequeñas latitudes  ( no mayor de 50º ), y para pequeños valores de S.
Realmente a causa de la irregularidad de la variación  de la longitud del paralelo medio ., el W  en su longitud es numéricamente igual a la longitud de determinado paralelo intermedio.

En la deducción de las principales fórmulas de la estima analítica la tierra se tomó como una esfera , pero cuando se resuelven tareas en el esferoide terrestre  es necesario introducir el (achatamiento) las siguientes correcciones ..     
Δφe= Δφt + Δφt  . f                      
                        100

Δλe=Δλt +Δλt  .g
                       100                                                                               

 donde  Δφe  y Δλe   son la diferencia de latitud y longitud  considerando el abatimiento

 Δλt y   Δφt  son la diferencia de latitud y longitud  total para la esfera terrestre, calculadas por las fórmulas de la estima analítica.

 f y g -   Coeficientes de correcciones

 f =   - 0.0018  +  0.0067 (1 +3/2 Sen² φm.)

g = -0.0018  - 0.0034 - Sen²φm + 0.0000127 Δφ²( 1+ 2 tag² φm) ..

En  la práctica el achatamiento se considera cuando se navega en altas latitudes  y a grandes distancias.

Haciendo uso de las tablas útiles al navegante  se puden calcular los siguientes elementos.

-         En la tabla correspondiente Δφ, Δλ  y W  con los  argumentos de rumbo verdadero  Rv y el espacio recorrido S

-   En la tabla correspondiente Δλ  con los argumentos  de W y φm .

En la tabla correspondiente  se toman los coeficientes f y g  para la consideración del achatamiento de la tierra.

 3.- TIPOS DE ESTIMA ANALITICA

En  dependencia de las condiciones y carácter de la navegación se diferencia tres tipos de estima analítica

-Simple

-Combinada

-Compleja

ESTIMA ANALITICA SIMPLE: Si el buque navega de un punto a otro en un solo rumbo.

En este caso Δφ y Δλ se calculan  por las fórmulas de la estima  y luego se determinan las coordenadas del punto de llegada

 φ2= φ1+Δφ       λ2=λ1+Δλ

 ESTIMA ANALITICA COMBINADA: Si la travesía de un punto a otro  la navegación se realiza en varios rumbos.

 En este caso por las formulas de la estima analítica se calculan Δφ y W  para cada rumbo en que navegue el buque

 La suma algebraica  de todas las Δφ obtenidas,  es la diferencia de latitud general Δφg =ΣΔφ

Aquí es necesario tener en cuenta los signos. La latitud  del punto de llegada  del buque se determina por la fórmula   φB=φA+Δφg

La suma algebraica de todos los apartamientos obtenidos  es el apartamiento general  Wg= ΣW

Aquí también es necesario tener en cuenta los signos.

 De acuerdo al apartamiento general obtenido   Wg y φm   se determina la Δλg.

  Δλg. = Wg. Sec. φm Donde

   φm  = ½ (φA+φB)

       Δλg= Wg. Sec ½ (φA+φB)

  La longitud del punto de llegada del buque se determina por la formula  λB=λA+Δλg  La particularidad de la estima analítica combinada se encierra en que las coordenada de los puntos intermedios  por los cuales paso el buque  no se determina , sino que de acuerdo  a  la Δφ y la Δλ directamente se determina las coordenadas del punto B . Este tipo de estima se utiliza en aquellos casos  cuando se navega en pequeñas latitudes  y pequeñas distancias.

 ESTIMA ANALITICA COMPLEJA: Se utiliza cuando se navega en e altas latitudes  y cuando el buque  toma diferentes rumbos, su esencia consiste  en que es necesario determinar las coordenadas  de todos los puntos intermedios  por los cuales pasa el buque.

 4-CONSIDERACION DEL ABATIMIENTO , LA DERIVA  Y EL CIRCULO DE EVOLUCIÓN EN LA ESTIMA ANALITICA.  (Fig. 3 )

a)  CONSIDERACIÓN DEL ABATIMIENTO: En la navegación considerando abatimiento,  para el cálculo de la Δφ, Δλ y W, utilizando las fórmulas de la estima analítica, en lugar del rumbo verdadero se utiliza el rumbo efectivo  por abatimiento  Reα.

                                      Δφ=  S. Cos Reα

                                       W= S.Sen Reα

                                       Δλ=W Sec φm.

Cuando se utilizan las tablas de la estima analítica  como argumento de entrada se toman  Reα y Sf.

 b) Consideración de la deriva:

 -         Se calcula Δφ y W para cada rumbo verdadero que tomo el buque, por las formulas o por las tablas.

-    Se considera la corriente en forma de un rumbo suplementario cuyo valor es igual a la dirección de la corriente y un espacio recorrido suplementario que representa en si, la deriva del buque durante el tiempo que afecto la corriente para ellos se calculan Δφ y W

-   Se adiciona a la diferencia de latitud general Δφg y W al  calculado para cada rumbo de navegación del buque

-   El Wg y Δφg obtenidos se utilizan para el calculote las coordenadas del punto “B”

Si durante la navegación varia la velocidad y dirección de la corriente es necesario dividir el tiempo de navegación en distintos periodos de tal forma que se puede tomar la corriente como constante durante cada periodo

En éste caso  para cada intervalo de tiempo habrá un rumbo suplementario  y un espacio suplementario.

 

CONSIDERACIÓN DEL CIRCULO DE EVOLUCIÓN:

La consideración del circulo de evolución en la estima analítica  se puede realizar por dos métodos :

El primer método consiste en que para cada círculo  de evolución  se calculan sus Δφ y W  para el cañculo de los cuales  se toma el rumbo intermedio:

Rv int = Rv1 ± q        + Est  y  – Br

Como espacio recorrido se toma el valor “d”

Los valores   “d” y “q”  para cada giro a un nuevo rumbo  se toman de las tablas  de circulo de evolución por el valor del ángulo de giro “α”

 El segundo método de consideración del círculo de evolución  es grafo-analítico. En una hoja limpia de papel (folio) , a  una escala grande , se dibujan todos los giros  que realizó el buque durante la navegación .

Los círculos de evolución se dibujan unos seguidos del otro , y el punto inicial  del primero  se une con el punto  final de giro  del último ( A-B).

La dirección de la línea obtenida AB  SE TOMA COMO EL RUMBO SUPLEMENTARIO del  buque  y la longitud de esta  como un espacio suplementario

 

 Fig. 3

 4.-CALCULO  DEL RUMBO Y EL ESPACIO  RECORRIDO POR LAS FORMULAS  DE LA ESTIMA ANALITICA.

Como regla general las fórmulas de la estima analítica se utilizan para determinar las coordenadas del punto de llegada del buque. En algunos casos  estas fórmulas  se utilizan para la solución de las tareas inversa s, es decir  para el  cálculo del rumbo y el espacio a recorrer, conociendo φ1 ,λ1 y φ2, λ2 o para la determinación de la dirección (Marcación , demora) de un punto a otro  y la distancia entre ellos. En este caso las fómulas de estima anaítica  se transforman para la solución de esta tarea.

De acuerdo a las coordenadas conocidas se calculan las magnitudes:

 Δφ = φ2 - φ1

Δλ = λ2 - λ1

φ m = ½ ( φ1+φ2 ) = φ1+½Δφ = φ2-½Δφ          

 

En base a las fórmulas de la estima analítica   Δλ =  W . Sec φm

Se determina el apartamiento   W =Δλ. Cos φm

De acuerdo a los valores obtenidos  de Δφ  y  W  se calculan el rumbo  y el espacio( dirección y distancia)

      tg Rv =  W
                   Δφ

 El valor del Rv (Dirección) se obtiene en el sistema cuadrantal y la  denominación del cuadrante  dependerá  del signo  del W y Δφ.

       _______               
S =√Δφ + W

S= Δφ. Sec Rv         S= W. Cosec.Rv.

En vista a que la fórmula  Δλ= W. Sec φm  es una fórmula aproximada  los cálculos señalados  materialmente se pueden fectuar en pequeñas latitudes  y para pequeñas distancias.

La tarea de determinación del Rv puede ser solucionada por la fórmula 
tag.Rv =  Δλ
              ΔPM

                                   

DONDE  PM ES LA DIFERENCIA DE PARTES MERIDIONALES (Fig. 4 )

ΔPM= PM (A) – PM(B) los valores de PM se toman de las tablas utiles al navegante  de acuerdo a la φA y φB

PM: Es la distancia lineal medida sobre el meridiano entre el ecuador  y el paralelo dado  expresados en  minutos del ecuador.

 ΔPM    Es la distancia lineal medida sobre el meridiano entre el paralelo A y el B expresadas en minutos de ecuador.

 Ejemplo 2;  El buque navega del punto con coordenadas  φ1= 32º 27’.0 N  y λ1= 16º 46’.0 E HASTA EL PUNTO CON COORDENADAS  φ2= 32º 20’.O N  λ2= 20º 16’.0  E   ¿Determinar EL rumbo y el espacio recorrido por el buque?

SOLUCION:

-         De acuerdo a las coordenadas del punto de partida y de llegada hacemos el grafico. ( Fig  ).

-Según  grafico el rumbo del buque se encuentra en el primer cuadrante.

- Calculamos Δλ, Δφ, φm y W.

 Δφ=φ2 - φ1 = + 32º 20’.0 – (+ 32º 27’.0) = - 1º 53’.0 = -113’ =  113’ Hacia el Sur

Δλ=λ2 - λ1 = + 20º 15’.o – (+ 16º 46’.0 ) =  + 5º 29’ = - 209’

φm = ½(φ1+φ2) = ½{(+32º 20’.0) + ( +32º 27’ )} = + 32º 30’

W= Δλ . cos φm = 209’.0.81 = 173.8 millas hacia el Oeste.

 -         Calculamos el rumbo verdadero del buque Rv

tg Rv =  +173.5   = + 1.535
              +113.0

      Ya que el Rv  se encuentra en el primer cuadrante   Rv = 56º.9

-         Calculamos el espacio recorrido   

         S= Δφ. Csc Rv = 113  .  1,835 =  207,3 millas

Al determinar  Rv por la fórmula   tg Rv  =   Δλ       obtenemos
                                                                   ΔPM  

       PM1 =  2182,7         PM2= 2182,7          ΔPM =  2182,7-2047,9= 134,6

        Δλ= 209.0

              Tag Rv =  +209,0  = 1,550   de donde Rv= 57º,3
                              +134,0

 Fig.4

 APUNTES  SOBRE  ALGUNOS CONCEPTOS Y DEDUCCIONES DE FORMULAS  QUE SE EMPLEAN EN LA NAVEGACIÓN.